Riješi x^2+(x-2)^2=100

$$x ^ { 2 } + ( x - 2 ) ^ { 2 } = 100$$

Riješite za x

$$x=-6$$

$$x=8$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Oduzmite 100 s obje strane.

$$2x^{2}-4x+4-100=0$$

Oduzmite 100 od 4 da biste dobili -96.

$$2x^{2}-4x-96=0$$

Podijelite obje strane s 2.

$$x^{2}-2x-48=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-48. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-2 ab=1\left(-48\right)=-48$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -2.

$$a=-8 b=6$$

Ponovo napišite x^{2}-2x-48 kao \left(x^{2}-8x\right)+\left(6x-48\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(6x-48\right)$$

Isključite x u prvoj i 6 drugoj grupi.

$$x\left(x-8\right)+6\left(x-8\right)$$

Izdvojite obični izraz x-8 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-8\right)\left(x+6\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-8=0 i x+6=0.

$$x=8 x=-6$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Oduzmite 100 s obje strane.

$$2x^{2}-4x+4-100=0$$

Oduzmite 100 od 4 da biste dobili -96.

$$2x^{2}-4x-96=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, -4 i b, kao i -96 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-96\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i -96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+768}}{2\times 2}$$

Saberite 16 i 768.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{784}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 784.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±28}{2\times 2}$$

Opozit broja -4 je 4.

$$x=\frac{4±28}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{4±28}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±28}{4} kada je ± plus. Saberite 4 i 28.

$$x=\frac{32}{4}$$

Podijelite 32 sa 4.

$$x=8$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±28}{4} kada je ± minus. Oduzmite 28 od 4.

$$x=-\frac{24}{4}$$

Podijelite -24 sa 4.

$$x=-6$$

Jednačina je riješena.

$$x=8 x=-6$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}-4x+4=100$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$2x^{2}-4x+4=100$$

Oduzmite 4 s obje strane.

$$2x^{2}-4x=100-4$$

Oduzmite 4 od 100 da biste dobili 96.

$$2x^{2}-4x=96$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=\frac{96}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=\frac{96}{2}$$

Podijelite -4 sa 2.

$$x^{2}-2x=\frac{96}{2}$$

Podijelite 96 sa 2.

$$x^{2}-2x=48$$

Podijelite -2, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -1. Zatim dodajte kvadrat od -1 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-2x+1=48+1$$

Saberite 48 i 1.

$$x^{2}-2x+1=49$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=49$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Pojednostavite.

$$x-1=7 x-1=-7$$

Dodajte 1 na obje strane jednačine.

$$x=8 x=-6$$