Riješi x^{2}+(x^{2}-2x)^2=10+(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2

$$x ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } = 10 + ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Riješite za x

$$x=-1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Da biste podigli stepen na neki drugi stepen, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 i 2 da biste dobili 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Da biste pomnožili stepene iste osnove, saberite eksponente. Saberite 2 i 1 da biste dobili 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Kombinirajte x^{2} i 4x^{2} da biste dobili 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Saberite 10 i 1 da biste dobili 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od x^{2}-2x-3.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Kombinirajte x^{2} i -2x^{2} da biste dobili -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Kombinirajte 2x i 12x da biste dobili 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Saberite 11 i 9 da biste dobili 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Oduzmite 20 s obje strane.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Dodajte x^{2} na obje strane.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Kombinirajte 5x^{2} i x^{2} da biste dobili 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Oduzmite 14x s obje strane.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Oduzmite x^{4} s obje strane.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Kombinirajte x^{4} i -x^{4} da biste dobili 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Dodajte 4x^{3} na obje strane.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Kombinirajte -4x^{3} i 4x^{3} da biste dobili 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Podijelite obje strane s 2.

$$3x^{2}-10-7x=0$$

Prerasporedite jednačinu da biste je stavili u standardni oblik. Postavite termine redoslijedom od najvišeg do najnižeg stepena.

$$3x^{2}-7x-10=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3x^{2}+ax+bx-10. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-7 ab=3\left(-10\right)=-30$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -7.

$$a=-10 b=3$$

Ponovo napišite 3x^{2}-7x-10 kao \left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right).

$$\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)$$

Izdvojite x iz 3x^{2}-10x.

$$x\left(3x-10\right)+3x-10$$

Izdvojite obični izraz 3x-10 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x-10\right)\left(x+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x-10=0 i x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Da biste podigli stepen na neki drugi stepen, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 i 2 da biste dobili 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Da biste pomnožili stepene iste osnove, saberite eksponente. Saberite 2 i 1 da biste dobili 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Kombinirajte x^{2} i 4x^{2} da biste dobili 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Saberite 10 i 1 da biste dobili 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od x^{2}-2x-3.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Kombinirajte x^{2} i -2x^{2} da biste dobili -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Kombinirajte 2x i 12x da biste dobili 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Saberite 11 i 9 da biste dobili 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Oduzmite 20 s obje strane.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Dodajte x^{2} na obje strane.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Kombinirajte 5x^{2} i x^{2} da biste dobili 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Oduzmite 14x s obje strane.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Oduzmite x^{4} s obje strane.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Kombinirajte x^{4} i -x^{4} da biste dobili 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Dodajte 4x^{3} na obje strane.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Kombinirajte -4x^{3} i 4x^{3} da biste dobili 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$6x^{2}-14x-20=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 6 i a, -14 i b, kao i -20 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadrat od -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -4 i 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -24 i -20.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 6}$$

Saberite 196 i 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 6}$$

Opozit broja -14 je 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 6}$$

Pomnožite 2 i 6.

$$x=\frac{14±26}{12}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{14±26}{12} kada je ± plus. Saberite 14 i 26.

$$x=\frac{40}{12}$$

Svedite razlomak \frac{40}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=\frac{10}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{14±26}{12} kada je ± minus. Oduzmite 26 od 14.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Podijelite -12 sa 12.

$$x=-1$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Da biste podigli stepen na neki drugi stepen, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 i 2 da biste dobili 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Da biste pomnožili stepene iste osnove, saberite eksponente. Saberite 2 i 1 da biste dobili 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Kombinirajte x^{2} i 4x^{2} da biste dobili 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Saberite 10 i 1 da biste dobili 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od x^{2}-2x-3.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Kombinirajte x^{2} i -2x^{2} da biste dobili -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Kombinirajte 2x i 12x da biste dobili 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Saberite 11 i 9 da biste dobili 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Dodajte x^{2} na obje strane.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}+x^{2}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Kombinirajte 5x^{2} i x^{2} da biste dobili 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Oduzmite 14x s obje strane.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x=20+x^{4}-4x^{3}$$

Oduzmite x^{4} s obje strane.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x-x^{4}=20-4x^{3}$$

Kombinirajte x^{4} i -x^{4} da biste dobili 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x=20-4x^{3}$$

Dodajte 4x^{3} na obje strane.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x+4x^{3}=20$$

Kombinirajte -4x^{3} i 4x^{3} da biste dobili 0.

$$6x^{2}-14x=20$$

Podijelite obje strane s 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{20}{6}$$

Dijelјenje sa 6 poništava množenje sa 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{20}{6}$$

Svedite razlomak \frac{-14}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{20}{6}$$

Svedite razlomak \frac{20}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{10}{3}$$

Podijelite -\frac{7}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{7}{6}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{7}{6} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{7}{6} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

Saberite \frac{10}{3} i \frac{49}{36} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{13}{6}$$

Dodajte \frac{7}{6} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$