Riješi x^2+(7+x)^2=169

$$x ^ { 2 } + ( 7 + x ) ^ { 2 } = 169$$

Riješite za x

$$x=-12$$

$$x=5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(7+x\right)^{2}.

$$x^{2}+49+14x+x^{2}=169$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$2x^{2}+49+14x=169$$

Oduzmite 169 s obje strane.

$$2x^{2}+49+14x-169=0$$

Oduzmite 169 od 49 da biste dobili -120.

$$2x^{2}-120+14x=0$$

Podijelite obje strane s 2.

$$x^{2}-60+7x=0$$

Prerasporedite jednačinu da biste je stavili u standardni oblik. Postavite termine redoslijedom od najvišeg do najnižeg stepena.

$$x^{2}+7x-60=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-60. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=7 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 7.

$$a=-5 b=12$$

Ponovo napišite x^{2}+7x-60 kao \left(x^{2}-5x\right)+\left(12x-60\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(12x-60\right)$$

Isključite x u prvoj i 12 drugoj grupi.

$$x\left(x-5\right)+12\left(x-5\right)$$

Izdvojite obični izraz x-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-5\right)\left(x+12\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-5=0 i x+12=0.

$$x=5 x=-12$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(7+x\right)^{2}.

$$x^{2}+49+14x+x^{2}=169$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$2x^{2}+49+14x=169$$

Oduzmite 169 s obje strane.

$$2x^{2}+49+14x-169=0$$

Oduzmite 169 od 49 da biste dobili -120.

$$2x^{2}-120+14x=0$$

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$2x^{2}+14x-120=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 2 i a, 14 i b, kao i -120 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 2\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadrat od 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 2\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-8\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i -120.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+960}}{2\times 2}$$

Saberite 196 i 960.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1156}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1156.

$$x=\frac{-14±34}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{-14±34}{4}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-14±34}{4} kada je ± plus. Saberite -14 i 34.

$$x=\frac{20}{4}$$

Podijelite 20 sa 4.

$$x=5$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-14±34}{4} kada je ± minus. Oduzmite 34 od -14.

$$x=-\frac{48}{4}$$

Podijelite -48 sa 4.

$$x=-12$$

Jednačina je riješena.

$$x=5 x=-12$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(7+x\right)^{2}.

$$x^{2}+49+14x+x^{2}=169$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$2x^{2}+49+14x=169$$

Oduzmite 49 s obje strane.

$$2x^{2}+14x=169-49$$

Oduzmite 49 od 169 da biste dobili 120.

$$2x^{2}+14x=120$$

Podijelite obje strane s 2.

$$\frac{2x^{2}+14x}{2}=\frac{120}{2}$$

Dijelјenje sa 2 poništava množenje sa 2.

$$x^{2}+\frac{14}{2}x=\frac{120}{2}$$

Podijelite 14 sa 2.

$$x^{2}+7x=\frac{120}{2}$$

Podijelite 120 sa 2.

$$x^{2}+7x=60$$

Podijelite 7, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{7}{2}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{7}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=60+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{7}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=60+\frac{49}{4}$$

Saberite 60 i \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{289}{4}$$

Faktor x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{17}{2}$$

Oduzmite \frac{7}{2} s obje strane jednačine.

$$x=5 x=-12$$