Riješi x+y=3;x-y=4

$$x + y = 3 ; x - y = 4$$

Riješite za x, y

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$x+y=3,x-y=4$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$x+y=3$$

Oduzmite y s obje strane jednačine.

$$x=-y+3$$

Zamijenite -y+3 za x u drugoj jednačini, x-y=4.

$$-y+3-y=4$$

Saberite -y i -y.

$$-2y+3=4$$

Oduzmite 3 s obje strane jednačine.

$$-2y=1$$

Podijelite obje strane s -2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Zamijenite -\frac{1}{2} za y u x=-y+3. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-\left(-\frac{1}{2}\right)+3$$

Pomnožite -1 i -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{1}{2}+3$$

Saberite 3 i \frac{1}{2}.

$$x=\frac{7}{2}$$

Sistem je riješen.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$x+y=3,x-y=4$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$x+y=3,x-y=4$$

Oduzmite x-y=4 od x+y=3 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$x-x+y+y=3-4$$

Saberite x i -x. Izrazi x i -x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$y+y=3-4$$

Saberite y i y.

$$2y=3-4$$

Saberite 3 i -4.

$$2y=-1$$

Podijelite obje strane s 2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Zamijenite -\frac{1}{2} za y u x-y=4. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x-\left(-\frac{1}{2}\right)=4$$

Pomnožite -1 i -\frac{1}{2}.

$$x+\frac{1}{2}=4$$

Oduzmite \frac{1}{2} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{7}{2}$$

Sistem je riješen.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{1}{2}$$