Riješi x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Riješite za x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$x+3y=6$$

Oduzmite 3y s obje strane jednačine.

$$x=-3y+6$$

Zamijenite -3y+6 za x u drugoj jednačini, 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Pomnožite 5 i -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Saberite -15y i -2y.

$$-17y+30=13$$

Oduzmite 30 s obje strane jednačine.

$$-17y=-17$$

Podijelite obje strane s -17.

$$y=1$$

Zamijenite 1 za y u x=-3y+6. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-3+6$$

Saberite 6 i -3.

$$x=3$$

Sistem je riješen.

$$x=3,y=1$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=3,y=1$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Da bi x i 5x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 5 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Pojednostavite.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Oduzmite 5x-2y=13 od 5x+15y=30 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Saberite 5x i -5x. Izrazi 5x i -5x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$15y+2y=30-13$$

Saberite 15y i 2y.

$$17y=30-13$$

Saberite 30 i -13.

$$17y=17$$

Podijelite obje strane s 17.

$$y=1$$

Zamijenite 1 za y u 5x-2y=13. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$5x-2=13$$

Dodajte 2 na obje strane jednačine.

$$5x=15$$

Podijelite obje strane s 5.

$$x=3$$

Sistem je riješen.

$$x=3,y=1$$