Riješi t^2-24t-180=0

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

Riješite za t

$$t=-6$$

$$t=30$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite t^{2}-24t-180 koristeći formulu t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-24 ab=-180$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -24.

$$a=-30 b=6$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(t+a\right)\left(t+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite t-30=0 i t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao t^{2}+at+bt-180. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -24.

$$a=-30 b=6$$

Ponovo napišite t^{2}-24t-180 kao \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right).

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

Isključite t u prvoj i 6 drugoj grupi.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

Izdvojite obični izraz t-30 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite t-30=0 i t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -24 i b, kao i -180 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -24.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

Saberite 576 i 720.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1296.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

Opozit broja -24 je 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{24±36}{2} kada je ± plus. Saberite 24 i 36.

$$t=\frac{60}{2}$$

Podijelite 60 sa 2.

$$t=30$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{24±36}{2} kada je ± minus. Oduzmite 36 od 24.

$$t=-\frac{12}{2}$$

Podijelite -12 sa 2.

$$t=-6$$

Jednačina je riješena.

$$t=30 t=-6$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Dodajte 180 na obje strane jednačine.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Oduzimanjem -180 od samog sebe ostaje 0.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

Oduzmite -180 od 0.

$$t^{2}-24t=180$$

Podijelite -24, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -12. Zatim dodajte kvadrat od -12 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -12.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

Saberite 180 i 144.

$$t^{2}-24t+144=324$$

Faktor t^{2}-24t+144. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Pojednostavite.

$$t-12=18 t-12=-18$$

Dodajte 12 na obje strane jednačine.

$$t=30 t=-6$$