Riješi t^2-23t+90=0

$$t ^ { 2 } - 23 t + 90 = 0$$

Riješite za t

$$t=5$$

$$t=18$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite t^{2}-23t+90 koristeći formulu t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-23 ab=90$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 90.

$$-1,-90 -2,-45 -3,-30 -5,-18 -6,-15 -9,-10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-90=-91 -2-45=-47 -3-30=-33 -5-18=-23 -6-15=-21 -9-10=-19$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -23.

$$a=-18 b=-5$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(t+a\right)\left(t+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(t-18\right)\left(t-5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite t-18=0 i t-5=0.

$$t=18 t=5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao t^{2}+at+bt+90. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-23 ab=1\times 90=90$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 90.

$$-1,-90 -2,-45 -3,-30 -5,-18 -6,-15 -9,-10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-90=-91 -2-45=-47 -3-30=-33 -5-18=-23 -6-15=-21 -9-10=-19$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -23.

$$a=-18 b=-5$$

Ponovo napišite t^{2}-23t+90 kao \left(t^{2}-18t\right)+\left(-5t+90\right).

$$\left(t^{2}-18t\right)+\left(-5t+90\right)$$

Isključite t u prvoj i -5 drugoj grupi.

$$t\left(t-18\right)-5\left(t-18\right)$$

Izdvojite obični izraz t-18 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(t-18\right)\left(t-5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite t-18=0 i t-5=0.

$$t=18 t=5$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$t^{2}-23t+90=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -23 i b, kao i 90 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 90}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -23.

$$t=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 90}}{2}$$

Pomnožite -4 i 90.

$$t=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-360}}{2}$$

Saberite 529 i -360.

$$t=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 169.

$$t=\frac{-\left(-23\right)±13}{2}$$

Opozit broja -23 je 23.

$$t=\frac{23±13}{2}$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{23±13}{2} kada je ± plus. Saberite 23 i 13.

$$t=\frac{36}{2}$$

Podijelite 36 sa 2.

$$t=18$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{23±13}{2} kada je ± minus. Oduzmite 13 od 23.

$$t=\frac{10}{2}$$

Podijelite 10 sa 2.

$$t=5$$

Jednačina je riješena.

$$t=18 t=5$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-23t+90=0$$

Oduzmite 90 s obje strane jednačine.

$$t^{2}-23t+90-90=-90$$

Oduzimanjem 90 od samog sebe ostaje 0.

$$t^{2}-23t=-90$$

Podijelite -23, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{23}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{23}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$t^{2}-23t+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{23}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$t^{2}-23t+\frac{529}{4}=-90+\frac{529}{4}$$

Saberite -90 i \frac{529}{4}.

$$t^{2}-23t+\frac{529}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor t^{2}-23t+\frac{529}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(t-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Pojednostavite.

$$t-\frac{23}{2}=\frac{13}{2} t-\frac{23}{2}=-\frac{13}{2}$$

Dodajte \frac{23}{2} na obje strane jednačine.

$$t=18 t=5$$