Riješi t^2+11t+24=0

$$t ^ { 2 } + 11 t + 24 = 0$$

Riješite za t

$$t=-8$$

$$t=-3$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite t^{2}+11t+24 koristeći formulu t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=11 ab=24$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 11.

$$a=3 b=8$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(t+a\right)\left(t+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(t+3\right)\left(t+8\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite t+3=0 i t+8=0.

$$t=-3 t=-8$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao t^{2}+at+bt+24. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=11 ab=1\times 24=24$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 11.

$$a=3 b=8$$

Ponovo napišite t^{2}+11t+24 kao \left(t^{2}+3t\right)+\left(8t+24\right).

$$\left(t^{2}+3t\right)+\left(8t+24\right)$$

Isključite t u prvoj i 8 drugoj grupi.

$$t\left(t+3\right)+8\left(t+3\right)$$

Izdvojite obični izraz t+3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(t+3\right)\left(t+8\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite t+3=0 i t+8=0.

$$t=-3 t=-8$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$t^{2}+11t+24=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, 11 i b, kao i 24 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 24}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od 11.

$$t=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 24}}{2}$$

Pomnožite -4 i 24.

$$t=\frac{-11±\sqrt{121-96}}{2}$$

Saberite 121 i -96.

$$t=\frac{-11±\sqrt{25}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 25.

$$t=\frac{-11±5}{2}$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{-11±5}{2} kada je ± plus. Saberite -11 i 5.

$$t=-\frac{6}{2}$$

Podijelite -6 sa 2.

$$t=-3$$

Sada riješite jednačinu t=\frac{-11±5}{2} kada je ± minus. Oduzmite 5 od -11.

$$t=-\frac{16}{2}$$

Podijelite -16 sa 2.

$$t=-8$$

Jednačina je riješena.

$$t=-3 t=-8$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$t^{2}+11t+24=0$$

Oduzmite 24 s obje strane jednačine.

$$t^{2}+11t+24-24=-24$$

Oduzimanjem 24 od samog sebe ostaje 0.

$$t^{2}+11t=-24$$

Podijelite 11, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{11}{2}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{11}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$t^{2}+11t+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{11}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$t^{2}+11t+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

Saberite -24 i \frac{121}{4}.

$$t^{2}+11t+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor t^{2}+11t+\frac{121}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(t+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Pojednostavite.

$$t+\frac{11}{2}=\frac{5}{2} t+\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

Oduzmite \frac{11}{2} s obje strane jednačine.

$$t=-3 t=-8$$