Riješi n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Riješite za n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite n^{2}-n-210 koristeći formulu n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-15 b=14$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(n+a\right)\left(n+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite n-15=0 i n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao n^{2}+an+bn-210. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-15 b=14$$

Ponovo napišite n^{2}-n-210 kao \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Isključite n u prvoj i 14 drugoj grupi.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Izdvojite obični izraz n-15 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite n-15=0 i n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$n^{2}-n-210=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -1 i b, kao i -210 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Saberite 1 i 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Opozit broja -1 je 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{1±29}{2} kada je ± plus. Saberite 1 i 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Podijelite 30 sa 2.

$$n=15$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{1±29}{2} kada je ± minus. Oduzmite 29 od 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Podijelite -28 sa 2.

$$n=-14$$

Jednačina je riješena.

$$n=15 n=-14$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Dodajte 210 na obje strane jednačine.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Oduzimanjem -210 od samog sebe ostaje 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Oduzmite -210 od 0.

$$n^{2}-n=210$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Saberite 210 i \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Faktor n^{2}-n+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Pojednostavite.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Dodajte \frac{1}{2} na obje strane jednačine.

$$n=15 n=-14$$