Riješi n^2-n=240

$$n ^ { 2 } - n = 240$$

Riješite za n

$$n=-15$$

$$n=16$$

Koraci koji koriste faktoring

Oduzmite 240 s obje strane.

$$n^{2}-n-240=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite n^{2}-n-240 koristeći formulu n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=-240$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-16 b=15$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(n+a\right)\left(n+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite n-16=0 i n+15=0.

$$n=16 n=-15$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 240 s obje strane.

$$n^{2}-n-240=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao n^{2}+an+bn-240. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=1\left(-240\right)=-240$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-16 b=15$$

Ponovo napišite n^{2}-n-240 kao \left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right).

$$\left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right)$$

Isključite n u prvoj i 15 drugoj grupi.

$$n\left(n-16\right)+15\left(n-16\right)$$

Izdvojite obični izraz n-16 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite n-16=0 i n+15=0.

$$n=16 n=-15$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$n^{2}-n=240$$

Oduzmite 240 s obje strane jednačine.

$$n^{2}-n-240=240-240$$

Oduzimanjem 240 od samog sebe ostaje 0.

$$n^{2}-n-240=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -1 i b, kao i -240 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-240\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -240.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2}$$

Saberite 1 i 960.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 961.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±31}{2}$$

Opozit broja -1 je 1.

$$n=\frac{1±31}{2}$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{1±31}{2} kada je ± plus. Saberite 1 i 31.

$$n=\frac{32}{2}$$

Podijelite 32 sa 2.

$$n=16$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{1±31}{2} kada je ± minus. Oduzmite 31 od 1.

$$n=-\frac{30}{2}$$

Podijelite -30 sa 2.

$$n=-15$$

Jednačina je riješena.

$$n=16 n=-15$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n=240$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=240+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=240+\frac{1}{4}$$

Saberite 240 i \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{961}{4}$$

Faktor n^{2}-n+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

Pojednostavite.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{31}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{31}{2}$$

Dodajte \frac{1}{2} na obje strane jednačine.

$$n=16 n=-15$$