Riješi n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Riješite za n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Izračunajte 2009 stepen od 2 i dobijte 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

Da biste riješili nejednačinu, faktorirajte lijevu stranu. Kvadratni polinom se može faktorirati pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pri čemu x_{1} i x_{2} predstavlјaju rješenja kvadratne jednačine ax^{2}+bx+c=0.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 1 sa a, -4019 sa b i 4036081 sa c u kvadratnoj formuli.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Izvršite računanje.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Riješite jednačinu n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Ponovo napišite nejednačinu koristeći dobivena rješenja.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

Da bi proizvod bio ≤0, jedna od vrijednosti n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} i n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} mora biti ≥0, a druga vrijednost mora biti ≤0. Razmotri slučaj kada su n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 i n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Ovo je netačno za svaki n.

$$n\in \emptyset$$

Razmotri slučaj kada su n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 i n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Konačno rješenje je unija dobivenih rješenja.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$