Riješi n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Riješite za n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite n^{2}-11n-60 koristeći formulu n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -11.

$$a=-15 b=4$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(n+a\right)\left(n+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite n-15=0 i n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao n^{2}+an+bn-60. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -11.

$$a=-15 b=4$$

Ponovo napišite n^{2}-11n-60 kao \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Isključite n u prvoj i 4 drugoj grupi.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Izdvojite obični izraz n-15 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite n-15=0 i n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -11 i b, kao i -60 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Saberite 121 i 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Opozit broja -11 je 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{11±19}{2} kada je ± plus. Saberite 11 i 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Podijelite 30 sa 2.

$$n=15$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{11±19}{2} kada je ± minus. Oduzmite 19 od 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Podijelite -8 sa 2.

$$n=-4$$

Jednačina je riješena.

$$n=15 n=-4$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Dodajte 60 na obje strane jednačine.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Oduzimanjem -60 od samog sebe ostaje 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Oduzmite -60 od 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Podijelite -11, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{11}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{11}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{11}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Saberite 60 i \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktor n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Pojednostavite.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Dodajte \frac{11}{2} na obje strane jednačine.

$$n=15 n=-4$$