Riješi n^2+5n=500

$$n ^ { 2 } + 5 n = 500$$

Riješite za n

$$n=-25$$

$$n=20$$

Koraci koji koriste faktoring

Oduzmite 500 s obje strane.

$$n^{2}+5n-500=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite n^{2}+5n-500 koristeći formulu n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=5 ab=-500$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -500.

$$-1,500 -2,250 -4,125 -5,100 -10,50 -20,25$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+500=499 -2+250=248 -4+125=121 -5+100=95 -10+50=40 -20+25=5$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 5.

$$a=-20 b=25$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(n+a\right)\left(n+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(n-20\right)\left(n+25\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite n-20=0 i n+25=0.

$$n=20 n=-25$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 500 s obje strane.

$$n^{2}+5n-500=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao n^{2}+an+bn-500. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=5 ab=1\left(-500\right)=-500$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -500.

$$-1,500 -2,250 -4,125 -5,100 -10,50 -20,25$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+500=499 -2+250=248 -4+125=121 -5+100=95 -10+50=40 -20+25=5$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 5.

$$a=-20 b=25$$

Ponovo napišite n^{2}+5n-500 kao \left(n^{2}-20n\right)+\left(25n-500\right).

$$\left(n^{2}-20n\right)+\left(25n-500\right)$$

Isključite n u prvoj i 25 drugoj grupi.

$$n\left(n-20\right)+25\left(n-20\right)$$

Izdvojite obični izraz n-20 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(n-20\right)\left(n+25\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite n-20=0 i n+25=0.

$$n=20 n=-25$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$n^{2}+5n=500$$

Oduzmite 500 s obje strane jednačine.

$$n^{2}+5n-500=500-500$$

Oduzimanjem 500 od samog sebe ostaje 0.

$$n^{2}+5n-500=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, 5 i b, kao i -500 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-500\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od 5.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-500\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -500.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+2000}}{2}$$

Saberite 25 i 2000.

$$n=\frac{-5±\sqrt{2025}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 2025.

$$n=\frac{-5±45}{2}$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{-5±45}{2} kada je ± plus. Saberite -5 i 45.

$$n=\frac{40}{2}$$

Podijelite 40 sa 2.

$$n=20$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{-5±45}{2} kada je ± minus. Oduzmite 45 od -5.

$$n=-\frac{50}{2}$$

Podijelite -50 sa 2.

$$n=-25$$

Jednačina je riješena.

$$n=20 n=-25$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+5n=500$$

Podijelite 5, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{5}{2}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{5}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$n^{2}+5n+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=500+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{5}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$n^{2}+5n+\frac{25}{4}=500+\frac{25}{4}$$

Saberite 500 i \frac{25}{4}.

$$n^{2}+5n+\frac{25}{4}=\frac{2025}{4}$$

Faktor n^{2}+5n+\frac{25}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{2025}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{4}}$$

Pojednostavite.

$$n+\frac{5}{2}=\frac{45}{2} n+\frac{5}{2}=-\frac{45}{2}$$

Oduzmite \frac{5}{2} s obje strane jednačine.

$$n=20 n=-25$$