Riješi f(x)=2x^4+11x^3+15x^2-8x-20

$$f ( x ) = 2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 8 x - 20$$

Faktor

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Koraci za rješenje

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -20 i q dijeli uvodni koeficijent 2. Jedan takav korijen je -\frac{5}{2}. Faktorirajte polinom tako što ćete ga podijeliti sa 2x+5.

$$\left(2x+5\right)\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$$

Razmotrite x^{3}+3x^{2}-4. Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -4 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Jedan takav korijen je -2. Faktorirajte polinom tako što ćete ga podijeliti sa x+2.

$$\left(x+2\right)\left(x^{2}+x-2\right)$$

Razmotrite x^{2}+x-2. Faktorišite izraz grupisanjem. Prvo, izraz treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-2. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Jedini takav par je rješenje sistema.

$$a=-1 b=2$$

Ponovo napišite x^{2}+x-2 kao \left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

Isključite x u prvoj i 2 drugoj grupi.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Izdvojite obični izraz x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

Ponovo napišite cijeli faktorirani izraz.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Procijeni

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$