Riješi a^2-5a-24=0

$$a ^ { 2 } - 5 a - 24 = 0$$

Riješite za a

$$a=-3$$

$$a=8$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite a^{2}-5a-24 koristeći formulu a^{2}+\left(a+b\right)a+ab=\left(a+a\right)\left(a+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-5 ab=-24$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -5.

$$a=-8 b=3$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(a+a\right)\left(a+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(a-8\right)\left(a+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite a-8=0 i a+3=0.

$$a=8 a=-3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao a^{2}+aa+ba-24. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -5.

$$a=-8 b=3$$

Ponovo napišite a^{2}-5a-24 kao \left(a^{2}-8a\right)+\left(3a-24\right).

$$\left(a^{2}-8a\right)+\left(3a-24\right)$$

Isključite a u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$a\left(a-8\right)+3\left(a-8\right)$$

Izdvojite obični izraz a-8 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(a-8\right)\left(a+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite a-8=0 i a+3=0.

$$a=8 a=-3$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$a^{2}-5a-24=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -5 i b, kao i -24 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -5.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -24.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2}$$

Saberite 25 i 96.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 121.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±11}{2}$$

Opozit broja -5 je 5.

$$a=\frac{5±11}{2}$$

Sada riješite jednačinu a=\frac{5±11}{2} kada je ± plus. Saberite 5 i 11.

$$a=\frac{16}{2}$$

Podijelite 16 sa 2.

$$a=8$$

Sada riješite jednačinu a=\frac{5±11}{2} kada je ± minus. Oduzmite 11 od 5.

$$a=-\frac{6}{2}$$

Podijelite -6 sa 2.

$$a=-3$$

Jednačina je riješena.

$$a=8 a=-3$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$a^{2}-5a-24=0$$

Dodajte 24 na obje strane jednačine.

$$a^{2}-5a-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Oduzimanjem -24 od samog sebe ostaje 0.

$$a^{2}-5a=-\left(-24\right)$$

Oduzmite -24 od 0.

$$a^{2}-5a=24$$

Podijelite -5, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{5}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{5}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$a^{2}-5a+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{5}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$a^{2}-5a+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Saberite 24 i \frac{25}{4}.

$$a^{2}-5a+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor a^{2}-5a+\frac{25}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Pojednostavite.

$$a-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} a-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Dodajte \frac{5}{2} na obje strane jednačine.

$$a=8 a=-3$$