Riješi 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Riješite za y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 9 i a, -12 i b, kao i 2 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadrat od -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 i 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 i 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Saberite 144 i -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Opozit broja -12 je 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 i 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} kada je ± plus. Saberite 12 i 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Podijelite 12+6\sqrt{2} sa 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} kada je ± minus. Oduzmite 6\sqrt{2} od 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Podijelite 12-6\sqrt{2} sa 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Oduzmite 2 s obje strane jednačine.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Oduzimanjem 2 od samog sebe ostaje 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Podijelite obje strane s 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Dijelјenje sa 9 poništava množenje sa 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Svedite razlomak \frac{-12}{9} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Podijelite -\frac{4}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{2}{3}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{2}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{2}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Saberite -\frac{2}{9} i \frac{4}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Faktorirajte y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Pojednostavite.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Dodajte \frac{2}{3} na obje strane jednačine.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$