Riješi 9x^2-24x=65

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

Riješite za x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4,333333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 65 s obje strane.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 9x^{2}+ax+bx-65. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -585.

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -24.

$$a=-39 b=15$$

Ponovo napišite 9x^{2}-24x-65 kao \left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right).

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

Isključite 3x u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x-13 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x-13=0 i 3x+5=0.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$9x^{2}-24x=65$$

Oduzmite 65 s obje strane jednačine.

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

Oduzimanjem 65 od samog sebe ostaje 0.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 9 i a, -24 i b, kao i -65 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadrat od -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 i 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 i -65.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

Saberite 576 i 2340.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 2916.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

Opozit broja -24 je 24.

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 i 9.

$$x=\frac{24±54}{18}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{24±54}{18} kada je ± plus. Saberite 24 i 54.

$$x=\frac{78}{18}$$

Svedite razlomak \frac{78}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=\frac{13}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{24±54}{18} kada je ± minus. Oduzmite 54 od 24.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Svedite razlomak \frac{-30}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x=65$$

Podijelite obje strane s 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

Dijelјenje sa 9 poništava množenje sa 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

Svedite razlomak \frac{-24}{9} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

Podijelite -\frac{8}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{4}{3}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{4}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{4}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

Saberite \frac{65}{9} i \frac{16}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

Dodajte \frac{4}{3} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$