Riješi 9x^2-19x-24=0

$$9 x ^ { 2 } - 19 x - 24 = 0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{8}{9}\approx -0,888888889$$

$$x=3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 9x^{2}+ax+bx-24. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-19 ab=9\left(-24\right)=-216$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -216.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -19.

$$a=-27 b=8$$

Ponovo napišite 9x^{2}-19x-24 kao \left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right)$$

Isključite 9x u prvoj i 8 drugoj grupi.

$$9x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Izdvojite obični izraz x-3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-3\right)\left(9x+8\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-3=0 i 9x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 9 i a, -19 i b, kao i -24 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadrat od -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 i 9.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 i -24.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+864}}{2\times 9}$$

Saberite 361 i 864.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1225}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1225.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±35}{2\times 9}$$

Opozit broja -19 je 19.

$$x=\frac{19±35}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 i 9.

$$x=\frac{19±35}{18}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{19±35}{18} kada je ± plus. Saberite 19 i 35.

$$x=\frac{54}{18}$$

Podijelite 54 sa 18.

$$x=3$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{19±35}{18} kada je ± minus. Oduzmite 35 od 19.

$$x=-\frac{16}{18}$$

Svedite razlomak \frac{-16}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{8}{9}$$

Jednačina je riješena.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

Dodajte 24 na obje strane jednačine.

$$9x^{2}-19x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Oduzimanjem -24 od samog sebe ostaje 0.

$$9x^{2}-19x=-\left(-24\right)$$

Oduzmite -24 od 0.

$$9x^{2}-19x=24$$

Podijelite obje strane s 9.

$$\frac{9x^{2}-19x}{9}=\frac{24}{9}$$

Dijelјenje sa 9 poništava množenje sa 9.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{24}{9}$$

Svedite razlomak \frac{24}{9} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{8}{3}$$

Podijelite -\frac{19}{9}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{19}{18}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{19}{18} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{19}{18} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{8}{3}+\frac{361}{324}$$

Saberite \frac{8}{3} i \frac{361}{324} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{1225}{324}$$

Faktor x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{1225}{324}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{324}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{19}{18}=\frac{35}{18} x-\frac{19}{18}=-\frac{35}{18}$$

Dodajte \frac{19}{18} na obje strane jednačine.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$