Riješi 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Riješite za x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 25 s obje strane.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Oduzmite 25 od 9 da biste dobili -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 9x^{2}+ax+bx-16. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 7.

$$a=-9 b=16$$

Ponovo napišite 9x^{2}+7x-16 kao \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Isključite 9x u prvoj i 16 drugoj grupi.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Izdvojite obični izraz x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-1=0 i 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Oduzmite 25 s obje strane jednačine.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Oduzimanjem 25 od samog sebe ostaje 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Oduzmite 25 od 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 9 i a, 7 i b, kao i -16 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadrat od 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 i 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 i -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Saberite 49 i 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 i 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-7±25}{18} kada je ± plus. Saberite -7 i 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Podijelite 18 sa 18.

$$x=1$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-7±25}{18} kada je ± minus. Oduzmite 25 od -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Svedite razlomak \frac{-32}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Jednačina je riješena.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Oduzmite 9 s obje strane jednačine.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Oduzimanjem 9 od samog sebe ostaje 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Oduzmite 9 od 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Podijelite obje strane s 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Dijelјenje sa 9 poništava množenje sa 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Podijelite \frac{7}{9}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{7}{18}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{7}{18} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{7}{18} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Saberite \frac{16}{9} i \frac{49}{324} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Oduzmite \frac{7}{18} s obje strane jednačine.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$