Riješi 9x^2+30x+25=0

$$9 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 9x^{2}+ax+bx+25. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=30 ab=9\times 25=225$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 225.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 30.

$$a=15 b=15$$

Ponovo napišite 9x^{2}+30x+25 kao \left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right).

$$\left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right)$$

Isključite 3x u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$3x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x+5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x+5\right)\left(3x+5\right)$$

Ponovo napišite kao binomni kvadrat.

$$\left(3x+5\right)^{2}$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x+5=0.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 9 i a, 30 i b, kao i 25 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadrat od 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 i 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 i 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Saberite 900 i -900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 0.

$$x=-\frac{30}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 i 9.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Svedite razlomak \frac{-30}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

Oduzmite 25 s obje strane jednačine.

$$9x^{2}+30x+25-25=-25$$

Oduzimanjem 25 od samog sebe ostaje 0.

$$9x^{2}+30x=-25$$

Podijelite obje strane s 9.

$$\frac{9x^{2}+30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Dijelјenje sa 9 poništava množenje sa 9.

$$x^{2}+\frac{30}{9}x=-\frac{25}{9}$$

Svedite razlomak \frac{30}{9} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Podijelite \frac{10}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{5}{3}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{5}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{5}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Saberite -\frac{25}{9} i \frac{25}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Faktor x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{5}{3}=0 x+\frac{5}{3}=0$$

Oduzmite \frac{5}{3} s obje strane jednačine.

$$x=-\frac{5}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Jednačina je riješena. Rješenja su ista.

$$x=-\frac{5}{3}$$