Riješi 9t^2+6t+1=0

$$9 t ^ { 2 } + 6 t + 1 = 0$$

Riješite za t

$$t=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 9t^{2}+at+bt+1. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 9.

$$1,9 3,3$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+9=10 3+3=6$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 6.

$$a=3 b=3$$

Ponovo napišite 9t^{2}+6t+1 kao \left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right).

$$\left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right)$$

Izdvojite 3t iz 9t^{2}+3t.

$$3t\left(3t+1\right)+3t+1$$

Izdvojite obični izraz 3t+1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3t+1\right)\left(3t+1\right)$$

Ponovo napišite kao binomni kvadrat.

$$\left(3t+1\right)^{2}$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3t+1=0.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 9 i a, 6 i b, kao i 1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadrat od 6.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 i 9.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

Saberite 36 i -36.

$$t=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 0.

$$t=-\frac{6}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 i 9.

$$t=-\frac{6}{18}$$

Svedite razlomak \frac{-6}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$9t^{2}+6t+1-1=-1$$

Oduzimanjem 1 od samog sebe ostaje 0.

$$9t^{2}+6t=-1$$

Podijelite obje strane s 9.

$$\frac{9t^{2}+6t}{9}=-\frac{1}{9}$$

Dijelјenje sa 9 poništava množenje sa 9.

$$t^{2}+\frac{6}{9}t=-\frac{1}{9}$$

Svedite razlomak \frac{6}{9} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t=-\frac{1}{9}$$

Podijelite \frac{2}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{1}{3}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{1}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{1}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Saberite -\frac{1}{9} i \frac{1}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=0$$

Faktor t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pojednostavite.

$$t+\frac{1}{3}=0 t+\frac{1}{3}=0$$

Oduzmite \frac{1}{3} s obje strane jednačine.

$$t=-\frac{1}{3} t=-\frac{1}{3}$$

Jednačina je riješena. Rješenja su ista.

$$t=-\frac{1}{3}$$