Riješi 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Riješite za n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 3n^{2} s obje strane.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kombinirajte 9n^{2} i -3n^{2} da biste dobili 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 6n^{2}+an+bn+20. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -23.

$$a=-15 b=-8$$

Ponovo napišite 6n^{2}-23n+20 kao \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Isključite 3n u prvoj i -4 drugoj grupi.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Izdvojite obični izraz 2n-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 2n-5=0 i 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Oduzmite 3n^{2} s obje strane.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kombinirajte 9n^{2} i -3n^{2} da biste dobili 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 6 i a, -23 i b, kao i 20 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadrat od -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Pomnožite -4 i 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Pomnožite -24 i 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Saberite 529 i -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Opozit broja -23 je 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Pomnožite 2 i 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{23±7}{12} kada je ± plus. Saberite 23 i 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Svedite razlomak \frac{30}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Sada riješite jednačinu n=\frac{23±7}{12} kada je ± minus. Oduzmite 7 od 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Svedite razlomak \frac{16}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Oduzmite 3n^{2} s obje strane.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kombinirajte 9n^{2} i -3n^{2} da biste dobili 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Oduzmite 20 s obje strane. Bilo šta oduzeto od nule daje svoju negaciju.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Podijelite obje strane s 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Dijelјenje sa 6 poništava množenje sa 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Svedite razlomak \frac{-20}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Podijelite -\frac{23}{6}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{23}{12}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{23}{12} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{23}{12} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Saberite -\frac{10}{3} i \frac{529}{144} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktorirajte n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Pojednostavite.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Dodajte \frac{23}{12} na obje strane jednačine.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$