Riješi 9a^2+24a+16=0

$$9 a ^ { 2 } + 24 a + 16 = 0$$

Riješite za a

$$a = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 9a^{2}+aa+ba+16. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=24 ab=9\times 16=144$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 24.

$$a=12 b=12$$

Ponovo napišite 9a^{2}+24a+16 kao \left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right).

$$\left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right)$$

Isključite 3a u prvoj i 4 drugoj grupi.

$$3a\left(3a+4\right)+4\left(3a+4\right)$$

Izdvojite obični izraz 3a+4 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3a+4\right)\left(3a+4\right)$$

Ponovo napišite kao binomni kvadrat.

$$\left(3a+4\right)^{2}$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3a+4=0.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 9 i a, 24 i b, kao i 16 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadrat od 24.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 i 9.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 i 16.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Saberite 576 i -576.

$$a=\frac{-24±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 0.

$$a=-\frac{24}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 i 9.

$$a=-\frac{24}{18}$$

Svedite razlomak \frac{-24}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Oduzmite 16 s obje strane jednačine.

$$9a^{2}+24a+16-16=-16$$

Oduzimanjem 16 od samog sebe ostaje 0.

$$9a^{2}+24a=-16$$

Podijelite obje strane s 9.

$$\frac{9a^{2}+24a}{9}=-\frac{16}{9}$$

Dijelјenje sa 9 poništava množenje sa 9.

$$a^{2}+\frac{24}{9}a=-\frac{16}{9}$$

Svedite razlomak \frac{24}{9} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a=-\frac{16}{9}$$

Podijelite \frac{8}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{4}{3}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{4}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{4}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Saberite -\frac{16}{9} i \frac{16}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=0$$

Faktor a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pojednostavite.

$$a+\frac{4}{3}=0 a+\frac{4}{3}=0$$

Oduzmite \frac{4}{3} s obje strane jednačine.

$$a=-\frac{4}{3} a=-\frac{4}{3}$$

Jednačina je riješena. Rješenja su ista.

$$a=-\frac{4}{3}$$