Riješi 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Riješite za x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 9x^{2}+ax+bx+25. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -30.

$$a=-15 b=-15$$

Ponovo napišite 9x^{2}-30x+25 kao \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Isključite 3x u prvoj i -5 drugoj grupi.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Ponovo napišite kao binomni kvadrat.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 9 i a, -30 i b, kao i 25 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadrat od -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 i 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 i 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Saberite 900 i -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

Opozit broja -30 je 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 i 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Svedite razlomak \frac{30}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Oduzmite 25 s obje strane jednačine.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Oduzimanjem 25 od samog sebe ostaje 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Podijelite obje strane s 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Dijelјenje sa 9 poništava množenje sa 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Svedite razlomak \frac{-30}{9} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Podijelite -\frac{10}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{5}{3}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{5}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{5}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Saberite -\frac{25}{9} i \frac{25}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Faktorirajte x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Dodajte \frac{5}{3} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Jednačina je riješena. Rješenja su ista.

$$x=\frac{5}{3}$$