Riješi 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Faktor

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Koraci za rješenje

Faktorišite izraz grupisanjem. Prvo, izraz treba prepisati kao 81x^{2}+ax+bx+100. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 180.

$$a=90 b=90$$

Ponovo napišite 81x^{2}+180x+100 kao \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Isključite 9x u prvoj i 10 drugoj grupi.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Izdvojite obični izraz 9x+10 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Ponovo napišite kao binomni kvadrat.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Koraci koji koriste kvadrat binoma

Ovaj trinom ima oblik kvadrata trinoma, možda pomnoženog zajedničkim faktorom. Kvadrati trinoma mogu se faktorirati pronalaženjem kvadratnih korijena uvodnih i pratećih termina.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Pronađite najveći zajednički faktor koeficijenata.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Izračunajte kvadratni korijen uvodnog termina, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Izračunajte kvadratni korijen pratećeg termina, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Kvadrat trinoma predstavlјa kvadrat binoma koji je zbir razlike kvadratnih korijena uvodnih i pratećih termina, pri čemu je znak određen znakom srednjeg termina kvadrata trinoma.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Kvadratni polinom se može faktorirati pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pri čemu x_{1} i x_{2} predstavlјaju rješenja kvadratne jednačine ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Izračunajte kvadrat od 180.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Pomnožite -4 i 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Pomnožite -324 i 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Saberite 32400 i -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Pomnožite 2 i 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Faktorirajte originalni izraz koristeći ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zamijenite -\frac{10}{9} sa x_{1} i -\frac{10}{9} sa x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Pojednostavite sve izraze koji imaju oblik p-\left(-q\right) u p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Saberite \frac{10}{9} i x tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Saberite \frac{10}{9} i x tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Pomnožite \frac{9x+10}{9} i \frac{9x+10}{9} tako što ćete pomnožiti brojilac sa brojiocem i imenilac sa imeniocem. Zatim reducirajte razlomak na najniže termine ako je moguće.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Pomnožite 9 i 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Poništite najveći zajednički djelilac 81 u 81 i 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Procijeni

$$\left(9x+10\right)^{2}$$