Riješi 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Faktor

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Koraci za rješenje

Faktorišite izraz grupisanjem. Prvo, izraz treba prepisati kao 81x^{2}+ax+bx+25. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 90.

$$a=45 b=45$$

Ponovo napišite 81x^{2}+90x+25 kao \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right).

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Isključite 9x u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Izdvojite obični izraz 9x+5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Ponovo napišite kao binomni kvadrat.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Koraci koji koriste kvadrat binoma

Ovaj trinom ima oblik kvadrata trinoma, možda pomnoženog zajedničkim faktorom. Kvadrati trinoma mogu se faktorirati pronalaženjem kvadratnih korijena uvodnih i pratećih termina.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Pronađite najveći zajednički faktor koeficijenata.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Izračunajte kvadratni korijen uvodnog termina, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Izračunajte kvadratni korijen pratećeg termina, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Kvadrat trinoma predstavlјa kvadrat binoma koji je zbir razlike kvadratnih korijena uvodnih i pratećih termina, pri čemu je znak određen znakom srednjeg termina kvadrata trinoma.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Kvadratni polinom se može faktorirati pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pri čemu x_{1} i x_{2} predstavlјaju rješenja kvadratne jednačine ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Izračunajte kvadrat od 90.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Pomnožite -4 i 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Pomnožite -324 i 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Saberite 8100 i -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Pomnožite 2 i 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Faktorirajte originalni izraz koristeći ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zamijenite -\frac{5}{9} sa x_{1} i -\frac{5}{9} sa x_{2}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Pojednostavite sve izraze koji imaju oblik p-\left(-q\right) u p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Saberite \frac{5}{9} i x tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Saberite \frac{5}{9} i x tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Pomnožite \frac{9x+5}{9} i \frac{9x+5}{9} tako što ćete pomnožiti brojilac sa brojiocem i imenilac sa imeniocem. Zatim reducirajte razlomak na najniže termine ako je moguće.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Pomnožite 9 i 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

Poništite najveći zajednički djelilac 81 u 81 i 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Procijeni

$$\left(9x+5\right)^{2}$$