Riješi 8x^2-22x-21=0

$$8 x ^ { 2 } - 22 x - 21 = 0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 8x^{2}+ax+bx-21. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-22 ab=8\left(-21\right)=-168$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -22.

$$a=-28 b=6$$

Ponovo napišite 8x^{2}-22x-21 kao \left(8x^{2}-28x\right)+\left(6x-21\right).

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(6x-21\right)$$

Isključite 4x u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$4x\left(2x-7\right)+3\left(2x-7\right)$$

Izdvojite obični izraz 2x-7 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(2x-7\right)\left(4x+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 2x-7=0 i 4x+3=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$8x^{2}-22x-21=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 8 i a, -22 i b, kao i -21 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Izračunajte kvadrat od -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Pomnožite -4 i 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Pomnožite -32 i -21.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+672}}{2\times 8}$$

Saberite 484 i 672.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{1156}}{2\times 8}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1156.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±34}{2\times 8}$$

Opozit broja -22 je 22.

$$x=\frac{22±34}{2\times 8}$$

Pomnožite 2 i 8.

$$x=\frac{22±34}{16}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{22±34}{16} kada je ± plus. Saberite 22 i 34.

$$x=\frac{56}{16}$$

Svedite razlomak \frac{56}{16} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 8.

$$x=\frac{7}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{22±34}{16} kada je ± minus. Oduzmite 34 od 22.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Svedite razlomak \frac{-12}{16} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-22x-21=0$$

Dodajte 21 na obje strane jednačine.

$$8x^{2}-22x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Oduzimanjem -21 od samog sebe ostaje 0.

$$8x^{2}-22x=-\left(-21\right)$$

Oduzmite -21 od 0.

$$8x^{2}-22x=21$$

Podijelite obje strane s 8.

$$\frac{8x^{2}-22x}{8}=\frac{21}{8}$$

Dijelјenje sa 8 poništava množenje sa 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{22}{8}\right)x=\frac{21}{8}$$

Svedite razlomak \frac{-22}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{21}{8}$$

Podijelite -\frac{11}{4}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{11}{8}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{11}{8} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{11}{8} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{21}{8}+\frac{121}{64}$$

Saberite \frac{21}{8} i \frac{121}{64} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{289}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{289}{64}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{64}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{17}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{17}{8}$$

Dodajte \frac{11}{8} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{3}{4}$$