Riješi 8x^2-14x-30=0

$$8 x ^ { 2 } - 14 x - 30 = 0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$x=3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Podijelite obje strane s 2.

$$4x^{2}-7x-15=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 4x^{2}+ax+bx-15. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-7 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -7.

$$a=-12 b=5$$

Ponovo napišite 4x^{2}-7x-15 kao \left(4x^{2}-12x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(5x-15\right)$$

Isključite 4x u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$4x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Izdvojite obični izraz x-3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-3\right)\left(4x+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-3=0 i 4x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{4}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$8x^{2}-14x-30=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 8 i a, -14 i b, kao i -30 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-30\right)}}{2\times 8}$$

Izračunajte kvadrat od -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-30\right)}}{2\times 8}$$

Pomnožite -4 i 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-30\right)}}{2\times 8}$$

Pomnožite -32 i -30.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+960}}{2\times 8}$$

Saberite 196 i 960.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{1156}}{2\times 8}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1156.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±34}{2\times 8}$$

Opozit broja -14 je 14.

$$x=\frac{14±34}{2\times 8}$$

Pomnožite 2 i 8.

$$x=\frac{14±34}{16}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{14±34}{16} kada je ± plus. Saberite 14 i 34.

$$x=\frac{48}{16}$$

Podijelite 48 sa 16.

$$x=3$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{14±34}{16} kada je ± minus. Oduzmite 34 od 14.

$$x=-\frac{20}{16}$$

Svedite razlomak \frac{-20}{16} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Jednačina je riješena.

$$x=3 x=-\frac{5}{4}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-14x-30=0$$

Dodajte 30 na obje strane jednačine.

$$8x^{2}-14x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Oduzimanjem -30 od samog sebe ostaje 0.

$$8x^{2}-14x=-\left(-30\right)$$

Oduzmite -30 od 0.

$$8x^{2}-14x=30$$

Podijelite obje strane s 8.

$$\frac{8x^{2}-14x}{8}=\frac{30}{8}$$

Dijelјenje sa 8 poništava množenje sa 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{8}\right)x=\frac{30}{8}$$

Svedite razlomak \frac{-14}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{30}{8}$$

Svedite razlomak \frac{30}{8} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{15}{4}$$

Podijelite -\frac{7}{4}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{7}{8}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{7}{8} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{7}{8} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{15}{4}+\frac{49}{64}$$

Saberite \frac{15}{4} i \frac{49}{64} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{289}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{289}{64}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{64}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{17}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{17}{8}$$

Dodajte \frac{7}{8} na obje strane jednačine.

$$x=3 x=-\frac{5}{4}$$