Riješi 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Podijelite obje strane s 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 15x^{2}+ax+bx-2. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 7.

$$a=-3 b=10$$

Ponovo napišite 15x^{2}+7x-2 kao \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Isključite 3x u prvoj i 2 drugoj grupi.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Izdvojite obični izraz 5x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 5x-1=0 i 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 75 i a, 35 i b, kao i -10 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Izračunajte kvadrat od 35.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Pomnožite -4 i 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Pomnožite -300 i -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Saberite 1225 i 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Pomnožite 2 i 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-35±65}{150} kada je ± plus. Saberite -35 i 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Svedite razlomak \frac{30}{150} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-35±65}{150} kada je ± minus. Oduzmite 65 od -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Svedite razlomak \frac{-100}{150} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Dodajte 10 na obje strane jednačine.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Oduzimanjem -10 od samog sebe ostaje 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Oduzmite -10 od 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Podijelite obje strane s 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Dijelјenje sa 75 poništava množenje sa 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Svedite razlomak \frac{35}{75} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Svedite razlomak \frac{10}{75} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Podijelite \frac{7}{15}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{7}{30}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{7}{30} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{7}{30} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Saberite \frac{2}{15} i \frac{49}{900} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Oduzmite \frac{7}{30} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$