Riješi 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Riješite za x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$7x-15y-2=0$$

Dodajte 2 na obje strane jednačine.

$$7x-15y=2$$

Dodajte 15y na obje strane jednačine.

$$7x=15y+2$$

Podijelite obje strane s 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Pomnožite \frac{1}{7} i 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Zamijenite \frac{15y+2}{7} za x u drugoj jednačini, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Saberite \frac{15y}{7} i 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Oduzmite \frac{2}{7} s obje strane jednačine.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Podijelite obje strane jednačine sa \frac{29}{7}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$y=\frac{19}{29}$$

Zamijenite \frac{19}{29} za y u x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Pomnožite \frac{15}{7} i \frac{19}{29} tako što ćete pomnožiti brojilac sa brojiocem i imenilac sa imeniocem. Zatim reducirajte razlomak na najniže termine ako je moguće.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Saberite \frac{2}{7} i \frac{285}{203} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x=\frac{49}{29}$$

Sistem je riješen.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Da bi 7x i x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 1 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Pojednostavite.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Oduzmite 7x+14y=21 od 7x-15y-2=0 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Saberite 7x i -7x. Izrazi 7x i -7x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-15y-14y-2=-21$$

Saberite -15y i -14y.

$$-29y-2=-21$$

Dodajte 2 na obje strane jednačine.

$$-29y=-19$$

Podijelite obje strane s -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Zamijenite \frac{19}{29} za y u x+2y=3. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Pomnožite 2 i \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Oduzmite \frac{38}{29} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{49}{29}$$

Sistem je riješen.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$