Riješi 7x^2-32x-15=0

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 7x^{2}+ax+bx-15. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -105.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -32.

$$a=-35 b=3$$

Ponovo napišite 7x^{2}-32x-15 kao \left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

Isključite 7x u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Izdvojite obični izraz x-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-5=0 i 7x+3=0.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 7 i a, -32 i b, kao i -15 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Izračunajte kvadrat od -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Pomnožite -4 i 7.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Pomnožite -28 i -15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

Saberite 1024 i 420.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1444.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

Opozit broja -32 je 32.

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

Pomnožite 2 i 7.

$$x=\frac{32±38}{14}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{32±38}{14} kada je ± plus. Saberite 32 i 38.

$$x=\frac{70}{14}$$

Podijelite 70 sa 14.

$$x=5$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{32±38}{14} kada je ± minus. Oduzmite 38 od 32.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Svedite razlomak \frac{-6}{14} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Jednačina je riješena.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Dodajte 15 na obje strane jednačine.

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Oduzimanjem -15 od samog sebe ostaje 0.

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

Oduzmite -15 od 0.

$$7x^{2}-32x=15$$

Podijelite obje strane s 7.

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

Dijelјenje sa 7 poništava množenje sa 7.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

Podijelite -\frac{32}{7}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{16}{7}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{16}{7} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{16}{7} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

Saberite \frac{15}{7} i \frac{256}{49} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

Faktor x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

Dodajte \frac{16}{7} na obje strane jednačine.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$