Riješi 7x^2+5x-78=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3,714285714$$

$$x=3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 7x^{2}+ax+bx-78. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -546.

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 5.

$$a=-21 b=26$$

Ponovo napišite 7x^{2}+5x-78 kao \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

Isključite 7x u prvoj i 26 drugoj grupi.

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

Izdvojite obični izraz x-3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-3=0 i 7x+26=0.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 7 i a, 5 i b, kao i -78 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Izračunajte kvadrat od 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Pomnožite -4 i 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Pomnožite -28 i -78.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

Saberite 25 i 2184.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 2209.

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

Pomnožite 2 i 7.

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-5±47}{14} kada je ± plus. Saberite -5 i 47.

$$x=\frac{42}{14}$$

Podijelite 42 sa 14.

$$x=3$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-5±47}{14} kada je ± minus. Oduzmite 47 od -5.

$$x=-\frac{52}{14}$$

Svedite razlomak \frac{-52}{14} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{26}{7}$$

Jednačina je riješena.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Dodajte 78 na obje strane jednačine.

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

Oduzimanjem -78 od samog sebe ostaje 0.

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

Oduzmite -78 od 0.

$$7x^{2}+5x=78$$

Podijelite obje strane s 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

Dijelјenje sa 7 poništava množenje sa 7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

Podijelite \frac{5}{7}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{5}{14}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{5}{14} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{5}{14} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

Saberite \frac{78}{7} i \frac{25}{196} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

Oduzmite \frac{5}{14} s obje strane jednačine.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$