Riješi 6(1/x+1/x+5)=1

$$6( \frac{ 1 }{ x } + \frac{ 1 }{ x+5 } )=1$$

Riješite za x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Podijelite obje strane s 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Promjenjiva x ne može biti jednaka nijednoj od vrijednosti -5,0 zato što dijeljenje nulom nije definirano. Pomnožite obje strane jednačine sa 6x\left(x+5\right), najmanjim zajedničkim sadržaocem broja x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Kombinirajte 6x i 6x da biste dobili 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili x sa x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Oduzmite x^{2} s obje strane.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Oduzmite 5x s obje strane.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Kombinirajte 12x i -5x da biste dobili 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Prerasporedite jednačinu da biste je stavili u standardni oblik. Postavite termine redoslijedom od najvišeg do najnižeg stepena.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao -x^{2}+ax+bx+30. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=7 ab=-30=-30$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 7.

$$a=10 b=-3$$

Ponovo napišite -x^{2}+7x+30 kao \left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right)$$

Isključite -x u prvoj i -3 drugoj grupi.

$$-x\left(x-10\right)-3\left(x-10\right)$$

Izdvojite obični izraz x-10 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-10\right)\left(-x-3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-10=0 i -x-3=0.

$$x=10 x=-3$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Podijelite obje strane s 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Promjenjiva x ne može biti jednaka nijednoj od vrijednosti -5,0 zato što dijeljenje nulom nije definirano. Pomnožite obje strane jednačine sa 6x\left(x+5\right), najmanjim zajedničkim sadržaocem broja x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Kombinirajte 6x i 6x da biste dobili 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili x sa x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Oduzmite x^{2} s obje strane.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Oduzmite 5x s obje strane.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Kombinirajte 12x i -5x da biste dobili 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite -1 i a, 7 i b, kao i 30 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Izračunajte kvadrat od 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 i -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 4 i 30.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\left(-1\right)}$$

Saberite 49 i 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 i -1.

$$x=\frac{-7±13}{-2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-7±13}{-2} kada je ± plus. Saberite -7 i 13.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Podijelite 6 sa -2.

$$x=-3$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-7±13}{-2} kada je ± minus. Oduzmite 13 od -7.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Podijelite -20 sa -2.

$$x=10$$

Jednačina je riješena.

$$x=-3 x=10$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Podijelite obje strane s 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Promjenjiva x ne može biti jednaka nijednoj od vrijednosti -5,0 zato što dijeljenje nulom nije definirano. Pomnožite obje strane jednačine sa 6x\left(x+5\right), najmanjim zajedničkim sadržaocem broja x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Kombinirajte 6x i 6x da biste dobili 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili x sa x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Oduzmite x^{2} s obje strane.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Oduzmite 5x s obje strane.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Kombinirajte 12x i -5x da biste dobili 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Oduzmite 30 s obje strane. Bilo šta oduzeto od nule daje svoju negaciju.

$$7x-x^{2}=-30$$

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x=-30$$

Podijelite obje strane s -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=-\frac{30}{-1}$$

Dijelјenje sa -1 poništava množenje sa -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=-\frac{30}{-1}$$

Podijelite 7 sa -1.

$$x^{2}-7x=-\frac{30}{-1}$$

Podijelite -30 sa -1.

$$x^{2}-7x=30$$

Podijelite -7, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{7}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{7}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{7}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Saberite 30 i \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Dodajte \frac{7}{2} na obje strane jednačine.

$$x=10 x=-3$$