Riješi 6x^2-x=40

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

Riješite za x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 40 s obje strane.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 6x^{2}+ax+bx-40. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-16 b=15$$

Ponovo napišite 6x^{2}-x-40 kao \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

Isključite 2x u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x-8 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x-8=0 i 2x+5=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$6x^{2}-x=40$$

Oduzmite 40 s obje strane jednačine.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

Oduzimanjem 40 od samog sebe ostaje 0.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 6 i a, -1 i b, kao i -40 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -4 i 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -24 i -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

Saberite 1 i 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

Opozit broja -1 je 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

Pomnožite 2 i 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±31}{12} kada je ± plus. Saberite 1 i 31.

$$x=\frac{32}{12}$$

Svedite razlomak \frac{32}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=\frac{8}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±31}{12} kada je ± minus. Oduzmite 31 od 1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Svedite razlomak \frac{-30}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=40$$

Podijelite obje strane s 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

Dijelјenje sa 6 poništava množenje sa 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

Svedite razlomak \frac{40}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

Podijelite -\frac{1}{6}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{12}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{12} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{12} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

Saberite \frac{20}{3} i \frac{1}{144} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

Dodajte \frac{1}{12} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$