Riješi 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Riješite za x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 15 s obje strane.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 6x^{2}+ax+bx-15. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-10 b=9$$

Ponovo napišite 6x^{2}-x-15 kao \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

Isključite 2x u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x-5=0 i 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$6x^{2}-x=15$$

Oduzmite 15 s obje strane jednačine.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Oduzimanjem 15 od samog sebe ostaje 0.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 6 i a, -1 i b, kao i -15 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -4 i 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -24 i -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Saberite 1 i 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

Opozit broja -1 je 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Pomnožite 2 i 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±19}{12} kada je ± plus. Saberite 1 i 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Svedite razlomak \frac{20}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±19}{12} kada je ± minus. Oduzmite 19 od 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Svedite razlomak \frac{-18}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

Podijelite obje strane s 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

Dijelјenje sa 6 poništava množenje sa 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Svedite razlomak \frac{15}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Podijelite -\frac{1}{6}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{12}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{12} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{12} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Saberite \frac{5}{2} i \frac{1}{144} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Dodajte \frac{1}{12} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$