Riješi 6x+9y=9text{and}-6x+6y=1

$$6 x + 9 y = 9 \text { and } - 6 x + 6 y = 1$$

Riješite za x, y

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$6x+9y=9,-6x+6y=1$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$6x+9y=9$$

Oduzmite 9y s obje strane jednačine.

$$6x=-9y+9$$

Podijelite obje strane s 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-9y+9\right)$$

Pomnožite \frac{1}{6} i -9y+9.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}$$

Zamijenite \frac{-3y+3}{2} za x u drugoj jednačini, -6x+6y=1.

$$-6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}\right)+6y=1$$

Pomnožite -6 i \frac{-3y+3}{2}.

$$9y-9+6y=1$$

Saberite 9y i 6y.

$$15y-9=1$$

Dodajte 9 na obje strane jednačine.

$$15y=10$$

Podijelite obje strane s 15.

$$y=\frac{2}{3}$$

Zamijenite \frac{2}{3} za y u x=-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}+\frac{3}{2}$$

Pomnožite -\frac{3}{2} i \frac{2}{3} tako što ćete pomnožiti brojilac sa brojiocem i imenilac sa imeniocem. Zatim reducirajte razlomak na najniže termine ako je moguće.

$$x=-1+\frac{3}{2}$$

Saberite \frac{3}{2} i -1.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sistem je riješen.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{2}{3}$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$6x+9y=9,-6x+6y=1$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-9\left(-6\right)}&-\frac{9}{6\times 6-9\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{6\times 6-9\left(-6\right)}&\frac{6}{6\times 6-9\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 9-\frac{1}{10}\\\frac{1}{15}\times 9+\frac{1}{15}\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{2}{3}$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$6x+9y=9,-6x+6y=1$$

Da bi 6x i -6x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa -6 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 6.

$$-6\times 6x-6\times 9y=-6\times 9,6\left(-6\right)x+6\times 6y=6$$

Pojednostavite.

$$-36x-54y=-54,-36x+36y=6$$

Oduzmite -36x+36y=6 od -36x-54y=-54 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$-36x+36x-54y-36y=-54-6$$

Saberite -36x i 36x. Izrazi -36x i 36x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-54y-36y=-54-6$$

Saberite -54y i -36y.

$$-90y=-54-6$$

Saberite -54 i -6.

$$-90y=-60$$

Podijelite obje strane s -90.

$$y=\frac{2}{3}$$

Zamijenite \frac{2}{3} za y u -6x+6y=1. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$-6x+6\times \frac{2}{3}=1$$

Pomnožite 6 i \frac{2}{3}.

$$-6x+4=1$$

Oduzmite 4 s obje strane jednačine.

$$-6x=-3$$

Podijelite obje strane s -6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sistem je riješen.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{2}{3}$$