Riješi 6p^2+33p+15=0

$$6 p ^ { 2 } + 33 p + 15 = 0$$

Riješite za p

$$p=-5$$

$$p=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Podijelite obje strane s 3.

$$2p^{2}+11p+5=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 2p^{2}+ap+bp+5. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=11 ab=2\times 5=10$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 10.

$$1,10 2,5$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+10=11 2+5=7$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 11.

$$a=1 b=10$$

Ponovo napišite 2p^{2}+11p+5 kao \left(2p^{2}+p\right)+\left(10p+5\right).

$$\left(2p^{2}+p\right)+\left(10p+5\right)$$

Isključite p u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$p\left(2p+1\right)+5\left(2p+1\right)$$

Izdvojite obični izraz 2p+1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(2p+1\right)\left(p+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 2p+1=0 i p+5=0.

$$p=-\frac{1}{2} p=-5$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$6p^{2}+33p+15=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 6 i a, 33 i b, kao i 15 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 6\times 15}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadrat od 33.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 6\times 15}}{2\times 6}$$

Pomnožite -4 i 6.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-24\times 15}}{2\times 6}$$

Pomnožite -24 i 15.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-360}}{2\times 6}$$

Saberite 1089 i -360.

$$p=\frac{-33±\sqrt{729}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 729.

$$p=\frac{-33±27}{2\times 6}$$

Pomnožite 2 i 6.

$$p=\frac{-33±27}{12}$$

Sada riješite jednačinu p=\frac{-33±27}{12} kada je ± plus. Saberite -33 i 27.

$$p=-\frac{6}{12}$$

Svedite razlomak \frac{-6}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$p=-\frac{1}{2}$$

Sada riješite jednačinu p=\frac{-33±27}{12} kada je ± minus. Oduzmite 27 od -33.

$$p=-\frac{60}{12}$$

Podijelite -60 sa 12.

$$p=-5$$

Jednačina je riješena.

$$p=-\frac{1}{2} p=-5$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$6p^{2}+33p+15=0$$

Oduzmite 15 s obje strane jednačine.

$$6p^{2}+33p+15-15=-15$$

Oduzimanjem 15 od samog sebe ostaje 0.

$$6p^{2}+33p=-15$$

Podijelite obje strane s 6.

$$\frac{6p^{2}+33p}{6}=-\frac{15}{6}$$

Dijelјenje sa 6 poništava množenje sa 6.

$$p^{2}+\frac{33}{6}p=-\frac{15}{6}$$

Svedite razlomak \frac{33}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$p^{2}+\frac{11}{2}p=-\frac{15}{6}$$

Svedite razlomak \frac{-15}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$p^{2}+\frac{11}{2}p=-\frac{5}{2}$$

Podijelite \frac{11}{2}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{11}{4}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{11}{4} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$p^{2}+\frac{11}{2}p+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{11}{4} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$p^{2}+\frac{11}{2}p+\frac{121}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{121}{16}$$

Saberite -\frac{5}{2} i \frac{121}{16} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$p^{2}+\frac{11}{2}p+\frac{121}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktor p^{2}+\frac{11}{2}p+\frac{121}{16}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(p+\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Pojednostavite.

$$p+\frac{11}{4}=\frac{9}{4} p+\frac{11}{4}=-\frac{9}{4}$$

Oduzmite \frac{11}{4} s obje strane jednačine.

$$p=-\frac{1}{2} p=-5$$