Riješi 6a^2-35a+50=0

$$6 a ^ { 2 } - 35 a + 50 = 0$$

Riješite za a

$$a = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

$$a = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 6a^{2}+aa+ba+50. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-35 ab=6\times 50=300$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 300.

$$-1,-300 -2,-150 -3,-100 -4,-75 -5,-60 -6,-50 -10,-30 -12,-25 -15,-20$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-300=-301 -2-150=-152 -3-100=-103 -4-75=-79 -5-60=-65 -6-50=-56 -10-30=-40 -12-25=-37 -15-20=-35$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -35.

$$a=-20 b=-15$$

Ponovo napišite 6a^{2}-35a+50 kao \left(6a^{2}-20a\right)+\left(-15a+50\right).

$$\left(6a^{2}-20a\right)+\left(-15a+50\right)$$

Isključite 2a u prvoj i -5 drugoj grupi.

$$2a\left(3a-10\right)-5\left(3a-10\right)$$

Izdvojite obični izraz 3a-10 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3a-10\right)\left(2a-5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3a-10=0 i 2a-5=0.

$$a=\frac{10}{3} a=\frac{5}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$6a^{2}-35a+50=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 6 i a, -35 i b, kao i 50 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 6\times 50}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadrat od -35.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 6\times 50}}{2\times 6}$$

Pomnožite -4 i 6.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-24\times 50}}{2\times 6}$$

Pomnožite -24 i 50.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-1200}}{2\times 6}$$

Saberite 1225 i -1200.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{25}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 25.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±5}{2\times 6}$$

Opozit broja -35 je 35.

$$a=\frac{35±5}{2\times 6}$$

Pomnožite 2 i 6.

$$a=\frac{35±5}{12}$$

Sada riješite jednačinu a=\frac{35±5}{12} kada je ± plus. Saberite 35 i 5.

$$a=\frac{40}{12}$$

Svedite razlomak \frac{40}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$a=\frac{10}{3}$$

Sada riješite jednačinu a=\frac{35±5}{12} kada je ± minus. Oduzmite 5 od 35.

$$a=\frac{30}{12}$$

Svedite razlomak \frac{30}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$a=\frac{5}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$a=\frac{10}{3} a=\frac{5}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$6a^{2}-35a+50=0$$

Oduzmite 50 s obje strane jednačine.

$$6a^{2}-35a+50-50=-50$$

Oduzimanjem 50 od samog sebe ostaje 0.

$$6a^{2}-35a=-50$$

Podijelite obje strane s 6.

$$\frac{6a^{2}-35a}{6}=-\frac{50}{6}$$

Dijelјenje sa 6 poništava množenje sa 6.

$$a^{2}-\frac{35}{6}a=-\frac{50}{6}$$

Svedite razlomak \frac{-50}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$a^{2}-\frac{35}{6}a=-\frac{25}{3}$$

Podijelite -\frac{35}{6}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{35}{12}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{35}{12} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$a^{2}-\frac{35}{6}a+\left(-\frac{35}{12}\right)^{2}=-\frac{25}{3}+\left(-\frac{35}{12}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{35}{12} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$a^{2}-\frac{35}{6}a+\frac{1225}{144}=-\frac{25}{3}+\frac{1225}{144}$$

Saberite -\frac{25}{3} i \frac{1225}{144} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$a^{2}-\frac{35}{6}a+\frac{1225}{144}=\frac{25}{144}$$

Faktor a^{2}-\frac{35}{6}a+\frac{1225}{144}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{35}{12}\right)^{2}=\frac{25}{144}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(a-\frac{35}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{144}}$$

Pojednostavite.

$$a-\frac{35}{12}=\frac{5}{12} a-\frac{35}{12}=-\frac{5}{12}$$

Dodajte \frac{35}{12} na obje strane jednačine.

$$a=\frac{10}{3} a=\frac{5}{2}$$