Riješi 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=1$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 6x^{2}+ax+bx-1. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -6.

$$1,-6 2,-3$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -5.

$$a=-6 b=1$$

Ponovo napišite 6x^{2}-5x-1 kao \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Izdvojite 6x iz 6x^{2}-6x.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Izdvojite obični izraz x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-1=0 i 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 6 i a, -5 i b, kao i -1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadrat od -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -4 i 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -24 i -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Saberite 25 i 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

Opozit broja -5 je 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Pomnožite 2 i 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{5±7}{12} kada je ± plus. Saberite 5 i 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

Podijelite 12 sa 12.

$$x=1$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{5±7}{12} kada je ± minus. Oduzmite 7 od 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Svedite razlomak \frac{-2}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Jednačina je riješena.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Dodajte 1 na obje strane jednačine.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Oduzimanjem -1 od samog sebe ostaje 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Oduzmite -1 od 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Podijelite obje strane s 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

Dijelјenje sa 6 poništava množenje sa 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Podijelite -\frac{5}{6}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{5}{12}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{5}{12} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{5}{12} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Saberite \frac{1}{6} i \frac{25}{144} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Dodajte \frac{5}{12} na obje strane jednačine.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$