Riješi 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 6x^{2}+ax+bx-5. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 7.

$$a=-3 b=10$$

Ponovo napišite 6x^{2}+7x-5 kao \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Isključite 3x u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Izdvojite obični izraz 2x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 2x-1=0 i 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 6 i a, 7 i b, kao i -5 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadrat od 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -4 i 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -24 i -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Saberite 49 i 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Pomnožite 2 i 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-7±13}{12} kada je ± plus. Saberite -7 i 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Svedite razlomak \frac{6}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-7±13}{12} kada je ± minus. Oduzmite 13 od -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Svedite razlomak \frac{-20}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Dodajte 5 na obje strane jednačine.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Oduzimanjem -5 od samog sebe ostaje 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Oduzmite -5 od 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Podijelite obje strane s 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Dijelјenje sa 6 poništava množenje sa 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Podijelite \frac{7}{6}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{7}{12}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{7}{12} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{7}{12} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Saberite \frac{5}{6} i \frac{49}{144} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Oduzmite \frac{7}{12} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$