Riješi 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 6x^{2}+ax+bx-7. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 19.

$$a=-2 b=21$$

Ponovo napišite 6x^{2}+19x-7 kao \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Isključite 2x u prvoj i 7 drugoj grupi.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x-1=0 i 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 6 i a, 19 i b, kao i -7 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadrat od 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -4 i 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -24 i -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Saberite 361 i 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Pomnožite 2 i 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-19±23}{12} kada je ± plus. Saberite -19 i 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Svedite razlomak \frac{4}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-19±23}{12} kada je ± minus. Oduzmite 23 od -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Svedite razlomak \frac{-42}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Dodajte 7 na obje strane jednačine.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Oduzimanjem -7 od samog sebe ostaje 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Oduzmite -7 od 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Podijelite obje strane s 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

Dijelјenje sa 6 poništava množenje sa 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Podijelite \frac{19}{6}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{19}{12}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{19}{12} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{19}{12} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Saberite \frac{7}{6} i \frac{361}{144} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Oduzmite \frac{19}{12} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$