Riješi 6x^2+11x-35=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x-35 = 0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 6x^{2}+ax+bx-35. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=11 ab=6\left(-35\right)=-210$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -210.

$$-1,210 -2,105 -3,70 -5,42 -6,35 -7,30 -10,21 -14,15$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+210=209 -2+105=103 -3+70=67 -5+42=37 -6+35=29 -7+30=23 -10+21=11 -14+15=1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 11.

$$a=-10 b=21$$

Ponovo napišite 6x^{2}+11x-35 kao \left(6x^{2}-10x\right)+\left(21x-35\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(21x-35\right)$$

Isključite 2x u prvoj i 7 drugoj grupi.

$$2x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+7\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x-5=0 i 2x+7=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$6x^{2}+11x-35=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 6 i a, 11 i b, kao i -35 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\left(-35\right)}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadrat od 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\left(-35\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -4 i 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\left(-35\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -24 i -35.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+840}}{2\times 6}$$

Saberite 121 i 840.

$$x=\frac{-11±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 961.

$$x=\frac{-11±31}{2\times 6}$$

Pomnožite 2 i 6.

$$x=\frac{-11±31}{12}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-11±31}{12} kada je ± plus. Saberite -11 i 31.

$$x=\frac{20}{12}$$

Svedite razlomak \frac{20}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-11±31}{12} kada je ± minus. Oduzmite 31 od -11.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Svedite razlomak \frac{-42}{12} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x-35=0$$

Dodajte 35 na obje strane jednačine.

$$6x^{2}+11x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Oduzimanjem -35 od samog sebe ostaje 0.

$$6x^{2}+11x=-\left(-35\right)$$

Oduzmite -35 od 0.

$$6x^{2}+11x=35$$

Podijelite obje strane s 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=\frac{35}{6}$$

Dijelјenje sa 6 poništava množenje sa 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{35}{6}$$

Podijelite \frac{11}{6}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{11}{12}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{11}{12} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{35}{6}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{11}{12} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{35}{6}+\frac{121}{144}$$

Saberite \frac{35}{6} i \frac{121}{144} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{961}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{31}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{31}{12}$$

Oduzmite \frac{11}{12} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{7}{2}$$