Riješi 5z^2-6z-4=0

$$5 z ^ { 2 } - 6 z - 4 = 0$$

Riješite za z

$$z = \frac{\sqrt{29} + 3}{5} \approx 1,677032961$$

$$z=\frac{3-\sqrt{29}}{5}\approx -0,477032961$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$5z^{2}-6z-4=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, -6 i b, kao i -4 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadrat od -6.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i -4.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+80}}{2\times 5}$$

Saberite 36 i 80.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{116}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 116.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{29}}{2\times 5}$$

Opozit broja -6 je 6.

$$z=\frac{6±2\sqrt{29}}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$z=\frac{6±2\sqrt{29}}{10}$$

Sada riješite jednačinu z=\frac{6±2\sqrt{29}}{10} kada je ± plus. Saberite 6 i 2\sqrt{29}.

$$z=\frac{2\sqrt{29}+6}{10}$$

Podijelite 6+2\sqrt{29} sa 10.

$$z=\frac{\sqrt{29}+3}{5}$$

Sada riješite jednačinu z=\frac{6±2\sqrt{29}}{10} kada je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{29} od 6.

$$z=\frac{6-2\sqrt{29}}{10}$$

Podijelite 6-2\sqrt{29} sa 10.

$$z=\frac{3-\sqrt{29}}{5}$$

Jednačina je riješena.

$$z=\frac{\sqrt{29}+3}{5} z=\frac{3-\sqrt{29}}{5}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5z^{2}-6z-4=0$$

Dodajte 4 na obje strane jednačine.

$$5z^{2}-6z-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Oduzimanjem -4 od samog sebe ostaje 0.

$$5z^{2}-6z=-\left(-4\right)$$

Oduzmite -4 od 0.

$$5z^{2}-6z=4$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5z^{2}-6z}{5}=\frac{4}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$z^{2}-\frac{6}{5}z=\frac{4}{5}$$

Podijelite -\frac{6}{5}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{3}{5}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{3}{5} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$z^{2}-\frac{6}{5}z+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{3}{5} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$z^{2}-\frac{6}{5}z+\frac{9}{25}=\frac{4}{5}+\frac{9}{25}$$

Saberite \frac{4}{5} i \frac{9}{25} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$z^{2}-\frac{6}{5}z+\frac{9}{25}=\frac{29}{25}$$

Faktor z^{2}-\frac{6}{5}z+\frac{9}{25}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{29}{25}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(z-\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{25}}$$

Pojednostavite.

$$z-\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{29}}{5} z-\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{29}}{5}$$

Dodajte \frac{3}{5} na obje strane jednačine.

$$z=\frac{\sqrt{29}+3}{5} z=\frac{3-\sqrt{29}}{5}$$