Riješi 5z^2-11z+6=0

$$5 z ^ { 2 } - 11 z + 6 = 0$$

Riješite za z

$$z=1$$

$$z = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1,2$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 5z^{2}+az+bz+6. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-11 ab=5\times 6=30$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -11.

$$a=-6 b=-5$$

Ponovo napišite 5z^{2}-11z+6 kao \left(5z^{2}-6z\right)+\left(-5z+6\right).

$$\left(5z^{2}-6z\right)+\left(-5z+6\right)$$

Isključite z u prvoj i -1 drugoj grupi.

$$z\left(5z-6\right)-\left(5z-6\right)$$

Izdvojite obični izraz 5z-6 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(5z-6\right)\left(z-1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 5z-6=0 i z-1=0.

$$z=\frac{6}{5} z=1$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$5z^{2}-11z+6=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, -11 i b, kao i 6 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadrat od -11.

$$z=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$z=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-20\times 6}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i 6.

$$z=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2\times 5}$$

Saberite 121 i -120.

$$z=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1.

$$z=\frac{-\left(-11\right)±1}{2\times 5}$$

Opozit broja -11 je 11.

$$z=\frac{11±1}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$z=\frac{11±1}{10}$$

Sada riješite jednačinu z=\frac{11±1}{10} kada je ± plus. Saberite 11 i 1.

$$z=\frac{12}{10}$$

Svedite razlomak \frac{12}{10} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$z=\frac{6}{5}$$

Sada riješite jednačinu z=\frac{11±1}{10} kada je ± minus. Oduzmite 1 od 11.

$$z=\frac{10}{10}$$

Podijelite 10 sa 10.

$$z=1$$

Jednačina je riješena.

$$z=\frac{6}{5} z=1$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5z^{2}-11z+6=0$$

Oduzmite 6 s obje strane jednačine.

$$5z^{2}-11z+6-6=-6$$

Oduzimanjem 6 od samog sebe ostaje 0.

$$5z^{2}-11z=-6$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5z^{2}-11z}{5}=-\frac{6}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$z^{2}-\frac{11}{5}z=-\frac{6}{5}$$

Podijelite -\frac{11}{5}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{11}{10}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{11}{10} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$z^{2}-\frac{11}{5}z+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}=-\frac{6}{5}+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{11}{10} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$z^{2}-\frac{11}{5}z+\frac{121}{100}=-\frac{6}{5}+\frac{121}{100}$$

Saberite -\frac{6}{5} i \frac{121}{100} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$z^{2}-\frac{11}{5}z+\frac{121}{100}=\frac{1}{100}$$

Faktor z^{2}-\frac{11}{5}z+\frac{121}{100}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{11}{10}\right)^{2}=\frac{1}{100}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(z-\frac{11}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{100}}$$

Pojednostavite.

$$z-\frac{11}{10}=\frac{1}{10} z-\frac{11}{10}=-\frac{1}{10}$$

Dodajte \frac{11}{10} na obje strane jednačine.

$$z=\frac{6}{5} z=1$$