Riješi 5y^2-3y-36=0

$$5 y ^ { 2 } - 3 y - 36 = 0$$

Riješite za y

$$y = -\frac{12}{5} = -2\frac{2}{5} = -2,4$$

$$y=3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 5y^{2}+ay+by-36. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-3 ab=5\left(-36\right)=-180$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -3.

$$a=-15 b=12$$

Ponovo napišite 5y^{2}-3y-36 kao \left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right).

$$\left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right)$$

Isključite 5y u prvoj i 12 drugoj grupi.

$$5y\left(y-3\right)+12\left(y-3\right)$$

Izdvojite obični izraz y-3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(y-3\right)\left(5y+12\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite y-3=0 i 5y+12=0.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, -3 i b, kao i -36 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadrat od -3.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i -36.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2\times 5}$$

Saberite 9 i 720.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 729.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±27}{2\times 5}$$

Opozit broja -3 je 3.

$$y=\frac{3±27}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$y=\frac{3±27}{10}$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{3±27}{10} kada je ± plus. Saberite 3 i 27.

$$y=\frac{30}{10}$$

Podijelite 30 sa 10.

$$y=3$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{3±27}{10} kada je ± minus. Oduzmite 27 od 3.

$$y=-\frac{24}{10}$$

Svedite razlomak \frac{-24}{10} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$y=-\frac{12}{5}$$

Jednačina je riješena.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

Dodajte 36 na obje strane jednačine.

$$5y^{2}-3y-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Oduzimanjem -36 od samog sebe ostaje 0.

$$5y^{2}-3y=-\left(-36\right)$$

Oduzmite -36 od 0.

$$5y^{2}-3y=36$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5y^{2}-3y}{5}=\frac{36}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=\frac{36}{5}$$

Podijelite -\frac{3}{5}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{3}{10}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{3}{10} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{36}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{3}{10} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{36}{5}+\frac{9}{100}$$

Saberite \frac{36}{5} i \frac{9}{100} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{729}{100}$$

Faktor y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{729}{100}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{100}}$$

Pojednostavite.

$$y-\frac{3}{10}=\frac{27}{10} y-\frac{3}{10}=-\frac{27}{10}$$

Dodajte \frac{3}{10} na obje strane jednačine.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$