Riješi 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Riješite za x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$5x-2y=1$$

Dodajte 2y na obje strane jednačine.

$$5x=2y+1$$

Podijelite obje strane s 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Pomnožite \frac{1}{5} i 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Zamijenite \frac{2y+1}{5} za x u drugoj jednačini, 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Pomnožite 3 i \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Saberite \frac{6y}{5} i 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Oduzmite \frac{3}{5} s obje strane jednačine.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Podijelite obje strane jednačine sa \frac{31}{5}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$y=2$$

Zamijenite 2 za y u x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Pomnožite \frac{2}{5} i 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Saberite \frac{1}{5} i \frac{4}{5} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x=1$$

Sistem je riješen.

$$x=1,y=2$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=1,y=2$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Da bi 5x i 3x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 3 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Pojednostavite.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Oduzmite 15x+25y=65 od 15x-6y=3 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Saberite 15x i -15x. Izrazi 15x i -15x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-6y-25y=3-65$$

Saberite -6y i -25y.

$$-31y=3-65$$

Saberite 3 i -65.

$$-31y=-62$$

Podijelite obje strane s -31.

$$y=2$$

Zamijenite 2 za y u 3x+5y=13. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$3x+5\times 2=13$$

Pomnožite 5 i 2.

$$3x+10=13$$

Oduzmite 10 s obje strane jednačine.

$$3x=3$$

Podijelite obje strane s 3.

$$x=1$$

Sistem je riješen.

$$x=1,y=2$$