Riješi 5x^2-7x-3=0

$$5 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{109} + 7}{10} \approx 1,744030651$$

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}\approx -0,344030651$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, -7 i b, kao i -3 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadrat od -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+60}}{2\times 5}$$

Saberite 49 i 60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Opozit broja -7 je 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} kada je ± plus. Saberite 7 i \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} kada je ± minus. Oduzmite \sqrt{109} od 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Dodajte 3 na obje strane jednačine.

$$5x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Oduzimanjem -3 od samog sebe ostaje 0.

$$5x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Oduzmite -3 od 0.

$$5x^{2}-7x=3$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{3}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{3}{5}$$

Podijelite -\frac{7}{5}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{7}{10}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{7}{10} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{7}{10} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

Saberite \frac{3}{5} i \frac{49}{100} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{109}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{109}{100}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{100}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{109}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{109}}{10}$$

Dodajte \frac{7}{10} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$