Riješi 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Riješite za x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 24 s obje strane.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 5x^{2}+ax+bx-24. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -7.

$$a=-15 b=8$$

Ponovo napišite 5x^{2}-7x-24 kao \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

Isključite 5x u prvoj i 8 drugoj grupi.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Izdvojite obični izraz x-3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-3=0 i 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$5x^{2}-7x=24$$

Oduzmite 24 s obje strane jednačine.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

Oduzimanjem 24 od samog sebe ostaje 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, -7 i b, kao i -24 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadrat od -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Saberite 49 i 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

Opozit broja -7 je 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{7±23}{10} kada je ± plus. Saberite 7 i 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

Podijelite 30 sa 10.

$$x=3$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{7±23}{10} kada je ± minus. Oduzmite 23 od 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Svedite razlomak \frac{-16}{10} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Jednačina je riješena.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x=24$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Podijelite -\frac{7}{5}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{7}{10}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{7}{10} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{7}{10} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

Saberite \frac{24}{5} i \frac{49}{100} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Dodajte \frac{7}{10} na obje strane jednačine.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$