Riješi 5x^2-4x-1=0

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

Riješite za x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=1$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 5x^{2}+ax+bx-1. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Jedini takav par je rješenje sistema.

$$a=-5 b=1$$

Ponovo napišite 5x^{2}-4x-1 kao \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

Izdvojite 5x iz 5x^{2}-5x.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

Izdvojite obični izraz x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-1=0 i 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, -4 i b, kao i -1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadrat od -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

Saberite 16 i 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

Opozit broja -4 je 4.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±6}{10} kada je ± plus. Saberite 4 i 6.

$$x=\frac{10}{10}$$

Podijelite 10 sa 10.

$$x=1$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{4±6}{10} kada je ± minus. Oduzmite 6 od 4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Svedite razlomak \frac{-2}{10} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Jednačina je riješena.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Dodajte 1 na obje strane jednačine.

$$5x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Oduzimanjem -1 od samog sebe ostaje 0.

$$5x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

Oduzmite -1 od 0.

$$5x^{2}-4x=1$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Podijelite -\frac{4}{5}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{2}{5}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{2}{5} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{2}{5} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

Saberite \frac{1}{5} i \frac{4}{25} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Dodajte \frac{2}{5} na obje strane jednačine.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$