Riješi 5x^2-35x-90=0

$$5 x ^ { 2 } - 35 x - 90 = 0$$

Riješite za x

$$x=-2$$

$$x=9$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Podijelite obje strane s 5.

$$x^{2}-7x-18=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-18. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-7 ab=1\left(-18\right)=-18$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -7.

$$a=-9 b=2$$

Ponovo napišite x^{2}-7x-18 kao \left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right)$$

Isključite x u prvoj i 2 drugoj grupi.

$$x\left(x-9\right)+2\left(x-9\right)$$

Izdvojite obični izraz x-9 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-9\right)\left(x+2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-9=0 i x+2=0.

$$x=9 x=-2$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$5x^{2}-35x-90=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, -35 i b, kao i -90 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 5\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadrat od -35.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 5\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-20\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i -90.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225+1800}}{2\times 5}$$

Saberite 1225 i 1800.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{3025}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 3025.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±55}{2\times 5}$$

Opozit broja -35 je 35.

$$x=\frac{35±55}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$x=\frac{35±55}{10}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{35±55}{10} kada je ± plus. Saberite 35 i 55.

$$x=\frac{90}{10}$$

Podijelite 90 sa 10.

$$x=9$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{35±55}{10} kada je ± minus. Oduzmite 55 od 35.

$$x=-\frac{20}{10}$$

Podijelite -20 sa 10.

$$x=-2$$

Jednačina je riješena.

$$x=9 x=-2$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-35x-90=0$$

Dodajte 90 na obje strane jednačine.

$$5x^{2}-35x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Oduzimanjem -90 od samog sebe ostaje 0.

$$5x^{2}-35x=-\left(-90\right)$$

Oduzmite -90 od 0.

$$5x^{2}-35x=90$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5x^{2}-35x}{5}=\frac{90}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{35}{5}\right)x=\frac{90}{5}$$

Podijelite -35 sa 5.

$$x^{2}-7x=\frac{90}{5}$$

Podijelite 90 sa 5.

$$x^{2}-7x=18$$

Podijelite -7, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{7}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{7}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=18+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{7}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=18+\frac{49}{4}$$

Saberite 18 i \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{11}{2}$$

Dodajte \frac{7}{2} na obje strane jednačine.

$$x=9 x=-2$$